نظام المعادلات الخطية

0
1734

نظام المعادلات الخطية، المعادلات تم تأسيسها علي يد محمد الخوارزمي في كتابه الجبر والمقابلة، يعتبر محمد الخوارزمي مؤسس الجبر أحد فروع الرياضيات .

تعريف المعادلات

المعادلة هي التساوي بين عبارتين وتكون هذه المعادلة اما صحيحة لقيم معينة للمجهول وخاطئة لقيم أخري.

مثال :-

2x+1=7 تكون المعادلة صحيحة عندما تكون x=3 وتكون المعادلة خاطئة لأي قيمة أخري. فنقول أن هو حل المعادلة لأنه عند التعويض بقيمة x تساوي 3 تصبح المعادلة 2(3)+1=7 وهذا صحيح وأصبح الطرفان متساويان.

يمكن تمثيل معادلة الخط المستقيم في المستوى x-y بالصيغة:

ax + by = c   

يتم تمثيل هذه الصيغة بمعادلة خطية من المتغيرين x و y ويمكن كتابة المعادلات الخطية التي تحتوي علي n  من المتغيرات وتكتب كالتالي

                          a1x1 + a2x2 + …. + anxn = c

حيث c، an، … ، a2، a1 ثوابت حقيقة . وحل هذه المعادلة هي الأعداد sn ، … ، s2، s1 بحيث يتم تحقيق المعادلة عندما نعوض  xn = sn، … ، x2 = s2 ، x1 = s1  

مثال ( 1 )

المعادلات الخطية

1.x + 2y = 8

2.x1 – 2x2 + 4x3 + x4 = 7

3.y = x +3/4 z

المعادلات الغير خطية

1.x + 2y2 =3

2.y – cos θ = 0

نلاحظ ان صيغة المعادلة الخطية تحتوي علي متغيرات من الدرجة الأولي ولا تحتوي تلك المعادلات الخطية علي متغيرات بدرجة أعلي، جذور، دوال مثلثية، ضرب متغيرات مع بعضها البعض أو دوال أسية.

يوجد أنظمة خطية تحتوي علي معادلتين بثلاث متغيرات :

مثال ( 2 ) :

3x1 = x2 + 5x3 = – 4

4x1 – x2 – 3x3 = 1

وتكون قيم هذه المتغيرات : x1 = 1 ، x2 = 2 ، x3 = -1 

هي حل النظام وذلك لانها تحقق كل من المعادلتين ولكن x1 = 1 و x2 = 8 و x3 = 1 ليسو حلا لانها لا تحقق كل من المعادلتين.  

يوجد بعض الأنظمة ليس لها حل ومثال علي ذلك

X + y = 6

2x + 2y = 10

والسبب لعدم ايجاد حل هو عند ضرب المعادلة الثانية في 1/2 نحصل علي هذا النظام

X + y = 6

X + y = 5

وبالتالي يتناقضتان مع بعضهما البعض.

يتم تسمية النظام الخطي الذي يوجد له حل واحد فقط بالنظام المتسق والنظام الذي ليس له حل يسمي بالنظام الغير متسق.

المعني الهندسي للنظام الخطي

يتم تمثيل النظام الخطي الذي يتكون من معادلتين خطيتين بمتغيرين هما x و y كالتالي

a1x +b1y = c1

A2x + b2y = c2

ويكون الشكل الهندسي لهذه المعادلات هو الخط المستقيم L1 و L2 كل خط مستقيم علي حدة أما اذا كانت النقطة (x,y) تقع علي المستقيم اذا كانت x و y  تحقق معادلة المستقيم فتصبح حلول النظام الخطي هو تقابل المستقيمين.

يوجد ثلاث احتمالات للحلول وهي :-

  • المستقيمان متوازيان ، لا يوجد نقط تقاطع وبالتالي ليس للنظام الخطي حل كما في الرسمة a.
  • المستقيمان يتقاطعان بنقطة ، ذلك يعني ان النظام الخطي له حل واحد فقط كما في الشكل b.
  • المستقيمان متطابقان وبالتالي يوجد عدد غير محدود من الحلول كما في الشكل c.

ما نستنتجة من ذلك أن النظام الخطي اما ليس له اي حلول او له حل واحد فقط او له عدد لا نهائي من الحلول.

المجموعة المنتهية التي تتكون من m من المعادلات الخطية تحتوي علي n المتغيرات xn،…،، x2 ، x1 نظام المعادلات الخطية. وكذلك تسمي بالنظام الخطي. اما المتتابعة التي تتكون من n من الأعداد الحقيقة sn، … ، s2، s1 = xn حل لكل معادلة من النظام الخطي.

يمكنت كتابة النظام الخطي الذي يتكون من m من المعادلات التي تحتوي علي n من المتغيرات كالتالي

a11x1 + a12x2 + … + a1m xn = c1

X21x1 + a22x2 + … + a2m xn = c2

…                     …                     …

am1 +am2 x2 + … + amn xn = cm

فان المتغيرات xn ، … ، x2 ، x1 هي متغيرات وثوابت حيث أن    1،2،…..،m   i=،  j=1،2،….n

طريقة حل أنظمة المعادلات الخطية

يتم حل نظام المعادلات الخطية عن طريق استبدال نظام معطي بنظام جديد يوجد به مجموعة الحل نفسها ولكن يكون أسهل في الحل. يوجد بعض الخطوات للحصول علي هذا النظام الجديد عن طريق تطبيق ثلاث أنواع من العمليات وذلك لحذف المجاهيل:

  1. تبادل معادلتين لبعضهما.
  2. ضرب معادلة بثابت غير صفري.
  3. جمع مضاعف إحدي المعادلات الي آخري.

مثال ( 3 ) :

الحل:

1- نضرب المعادلة L1 في 3- ونضيف حاصل ضرب للمعادلة L2.

يرمز لهذه المعادلة بالرمز L2 + -3L1، ونضرب L1 في 4- ونضيفه الي L3 أي أن العملية هي L3 + -4L1

من خلال هاتين العمليتين نحصل علي النظام المكافئ كالتالي

2- ضرب المعادلة L2 في 2- ونضيفة الي L’2 وهكذا سنحصل علي النظام المكافئ وتصبح العملية هي L’23 + -2L’2

من L”نحصل علي z = 3  وبتعويضها في L”2 نحصل علي y = -1  وأخيرا نعوض عن z،y في L”1  فنحصل علي x = 2 أي ان مجموعة الحل هي (3 ، -1 ، 2)، نلاحظ ان النظام الخطي 3 يكافئ النظام 1. ويسمي النظام 3 نظام خطي تبعا للصيغة المدرجة خطيا.

مثال ( 4 ) :

 

 

 

الحل:

باستخدام نفس طريقة حل المثال السابق

يتنبين من المعادلتين اننا حصلنا علي معادلتين خطيتين بثلاث متغيرات ومن اجل الحصول علي الحل نفرض ان z = t ثم نجد قيم y ، x وبالتعويض في المعدلة الثانية والاولي يكون الحل :-

      Z = t     ،   y = 2+2t          ،  x = 2 – t

نلاحظ ان t في المثال تسميس بالوسيط وتكون الحلول في هذه الحالة غير منتهية وذلك لانها تعتمد علي t  حيث ان t عدد حقيقي.

نلاحظ أيضا انه اذا كان cn، …. ، c2،c1 في النظام الخطي 1 تساوي أصفار فان هذا النظام يسمي بالنظام المتجانس، واذا كانت الثوابت cn، … ، c2، c1 لا تساوي أصفار فان هذا النظام الخطي يسمي بالنظام الغير متجانس.

مثال ( 5 ) :

الحل:-

عند تحويل هذا النظام الي الشكل المدرج باستخدام طريقة المثال رقم 2 نحصل علي النظام المكافئ التالي:-

 X + w = 0

Y + 7w = 0

Z + 6w = 0

نفرض ان t=w ونعوض بها في المعادلات، نحصل علي:-

           W = t  ،  Z = -6t   ،   y = -7t   ،  X = 11t

المصفوفة الممتدة : يمكن وضع الثوابت في النظام الخطي (1) بالصيغة :

إن aij هي أعداد حقيقية تمثل معاملات المتغيرات و ci تمثل الثوابت في الطرف الأيمن من النظام (1). تسمى الخطوط الأفقية صفوفاً، أما الخطوط العمودية فتسمى أعمدة، ويقال لهذه الصيغة ، المصفوفة الممتدة.

مثال ( 6 )

يوجد امكانية وضع ثوابت النظام الخطي الواردة فس 2 بصيغة مصفوفة ممتدة بهذا الشكل

الصفوف المتواجدة في المصفوفة الممتدة تقابل المعادلات الواردة في النظام الخطي للمثال 3 لذلك التعليمات الثلاثة المستخدمة في طريقة حل المعادلات الخطية تكافئ العمليات المستخدمة على صفوف المصفوفة الممتدة الآتية:

  1. يتم ضرب أي صف بكمية ثابتة ولكن غير صفرية
  2. تبديل اي صفين بوضع احدهما مكان الآخر
  3. إضافة مضاعف أحد الصفوف لصف آخر

هذه العمليات تسمي بعمليات الصف البسيطة

مثال ( 7 )

حل النظام الخطي الوارد في المثال 3 عن طريق عمليات الصف البسيطة

الحل

1- المصفوفة الممتدة للنظام هي

2- نضرب الصف الأول في 3- ويتم اضافته الي الصف الثاني ونضرب الصف الأول في 4- ويتم اضافته للصف الأول وبالتالي نحصل علي هذه المصفوفة الممتدة المكافئة :

3- نضرب الصف الثاني في 2- ويتم اضافتة الي الصف الثالث:

هذه الصيغة تسمي الصيغة المدرجة التي تقابل النظام الخطي المكافئ:

عند التعويض عن z نحصل علي

        Z=3    ،        y=1    ،        x=2

المصفوفات البسيطة

المصفوفة البسيطة A هي المصفوفة المربعة اذا أمكن ايجادها من المصفوفة المحايدة In وذلك عن طريق استخدام عملية صف بسيطة واحدة:

مثال ( 1 )

عند ضرب المصفوفة A بمصفوفة أولية مثل E من جهة اليسار، يكون تأثير ذلك معادلة لإجراء عملية صفية علي A.

مثال ( 2 )

هذه مصفوفة بسيطة تم الحصول عليها من ضرب الصف الاول في 3 وإضافة حاصل الضرب الي الصف الثالث من المصفوفة I3 .

إذن :

يعادل هذا الشكل المصفوفة الناتجة من إضافة 3 أضعاف الصف الأول في A  للصف الثالث فيها .

ملحوظة

اذا أثرت عملي صف بسيطة E  علي المصفوفة المحايدة In وذلك للحصول علي مصفوفة بسيطة. فتوجد عملية صف ثانية اذا أثرت علي E ستعيدها الي In.

مثال ( 3 )

 بفرض E مصفوفة تنتج من ضرب الصف رقم i في المصفوفة Iبالثابت غير الصفري k.

عند ضرب الصف رقم i من المصفوفة E بالثابت 1/k ، نحصل علي المصفوفة In ، هذه العمليات التي تعيد E الي In تسمي العمليات العكسية.

قاعدة ( 2-1 )

كل مصفوفة بسيطة قابلة للانعكاس وكذلك المعكوس مصفوفة بسيطة.

البرهان

بفرض أن مصفوفة بسيطة تنتج من تأثير عملية صفية بسيطة علي In ، بفرض أن ‘E مصفوفة تنتج من تأثير معكوس هذه العملية علي In ، وباتياع تلك الملاحظة وحقيقة أن عمليات الصف العكسية تزيل تأثير أحدهما للأخرى فإن:

وهكذا فان المصفوفة البسيطة E’ هي معكوس E.

قاعدة ( 3-1 )

بفرض أن A مصفوفة سعتها n x n فتكون الصيغ الآتية متكافئة ، وتكون اما جميعها صحيحة او جميعها خاطئة.

  1. A قابلة للانعكاس.
  2. AX = 0 لها حل وحيد وهذا الحل هو الحل الصفري.
  3. الصيغة المدرجة الصفية المختزلة للمصفوفة A هي المصفوفة In.
  4. يعبر عن A كحاصل ضرب مصفوفات بسيطة.

البرهان

1←2 : بفرض ان A قابلة للانعكاس وأن ‘X هو الحل لهذا النظام المتجانس AX = 0. لذا فإن     AX’ = 0. لذا فإن AX’= 0.

 A تكون قابلة للانعكاس فإن A-1، تكون معكوس A، بضرب AX’ = 0بالمصفوفة A-1 من جهة اليسار نحصل على :

وبالتالي تكون X’ = 0. نستنتج من ذلك أن الحل الوحيد هو الحل الصفري.

2←3 : بفرض أن AX = 0 هو الشكل المصفوفي للنظام الخطي:

وبفرض أن حل هذه النظام هو الحل الصفري. فعند استخدام طريقة اختزال كاوس ــ جوردان فإن المعادلات المقابله للشكل المدرج الصفي المختزل للمصفوفة الممتدة ستكون:

وعند تطبيق عمليات الصف البسيطة على المصفوفة الممتدة للمعادلات الخطية (1) في هذه الحالة نحصل على المصفوفة الممتدة:

وهذا يعني أن الصيغة المدرجة الصفية المختزنة للمصفوفة A هي In.

3←4 : وعند فرض أن الصيغة المدرجة الصفية المختزلة للمصفوفة A هو In.

يتم ضرب A من جهة اليسار بسلسلة من عمليات الصف البسيطة فتتحول A إلى In.

3)     …………………………………E1E2…EnA=In

ولما كانت E1 ، E2 ، ….. ، En قابلة للانعكاس، وبضرب طرفي المعادلة (3) بالمصفوفات  نحصل على:

وتباعا الي القاعدة (1-5-2) فإن A يتم التعبير عنها كحاصل ضرب مصفوفات بسيطة.

4←1 : إذا عبرنا عن A كحاصل ضرب مصفوفات بسيطة، فتكون A هي حاصل ضرب مصفوفات قابلة للانعكاس ومن ذلك نستنتج أن A قابلة للانعكاس [لاحظ قاعدة (1-4-5) وقاعدة (1-5-2)].

عند عكس طرفي الصيغة (3) نحصل على:

هذا يبين أن المصفوفة A يتم الحصول عليها من ضرب In من اليسار بالمصفوفات البسيطة En،….،E2،E1

وبمقارنة العلاقتين (3) و (5) يتضح أن سلسلة عمليات الصف التي تحول A إلى In ستحول In إلى A-1.

طريقة إيجاد معكوس المصفوفة القابلة للانعكاس

تحدث هذه الطريقة عن طريق ايجاد عمليات صف بسيطة تحول A إلى In ومن ثم يتم استخدام نفس هذه السلسة من العمليات علي المصفوفة المحايدة بجوار A للحصول علي A-1.

لعمل ذلك يتم وضع المصفوفة المحايدة علي يمين المصفوفة A للحصول علي الشكل [A : In]. وبعد ذلك يتم اجراء عمليات الصف علي هذه المصفوفة حتي يتم تحويل الجانب الأيسر الي In . وسيتم تحويل الجانب الأيمن الي A-1 عن طريق هذه العمليات ، وسنحصل علي [In : A-1].

مثال ( 4 )

ملحوظة

لا يمكن معرفة اذا كانت A مصفوفة قابلة للانعكاس أم لا. عندما تكون A غير قابلة للانعكاس لايمكن اختزالها الي وتباعا الي العمليات الصفية البسيطة، او بمفهوم آخر أن الشكل المدرج الصفي المختزل للمصفوفة A يحتوي علي الأقل علي صف واحد وتكون جميع عناصرة أصفار.

مثال ( 6 )

الحل

باتباع هذه الطريقة الموضحة في المثالين 4 و 5 يتم الحصول علي:

وهكذا فان الصف رقم 3 من المصفوفة من الجهة اليسري تكون جميع عناصره أصفار. وبالتالي تكون المصفوفة غير قابلة للانعكاس.